Équation de diffusion

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On souhaite dans cet article résoudre le cas classique de la diffusion de particules. On utilisera pour résoudre l’équation aux dérivées partielles la transformée de Fourier. Le document s’inspire franchement du Perez de Thermodynamique. La résolution n’est cependant pas menée à son terme dans l’ouvrage.

Étape 1 : établir l’équation de diffusion

Les particules sont contenues dans un volume V délimité par une surface S.

On se place dans le cas conservatif ou il n’y a pas de création ou de destruction de particules dans l’espace considéré. De sorte que la variation du nombre de particules \Delta N ne dépend que des échanges avec l’extérieur, on pose N^r le nombre de particules échangées :

\Delta N = N^r

On remarquera à ce titre que \delta N^r est une forme différentielle, c’est à dire qu’elle n’est pas à priori la différentielle d’une fonction. Ici \delta N^r sera pour nous le nombre de particules qui traversent une surface infiniment petite dS caractérisée par une normale \mathbf{n}.

\delta N^r correspond donc au nombre de particules qui traverserons cette surface. En fait, il s’agit de toutes les particules contenues dans le cylindre (Fig) de base dS et de hauteur \mathbf{v}dt.

Cylindre de base dS et de hauteur vdt

\delta N^r = n_v(\mathbf{r},t).\mathbf{n}.\mathbf{v}.dS.dt

Définissons le flux d \phi comme le nombre de particules qui traversent la surface pendant dt.

d \phi = \frac{\delta N^r}{dt}=n_v.\mathbf{v}.\mathbf{n}.dS

d \phi = \mathbf{J_n}.\mathbf{n}.dS

Le flux sera donc en intégrant sur une surface S :

\phi = \int_S \mathbf{J_n}.\mathbf{n}.dS

Reprenons le bilan :

d N = \delta N^r

On note que si les particules se déplacent dans le sens de \mathbf{n} elles sortent du volume étudié et donc doivent être comptées négativement.

d \int_V n_s.dV = dt\int_S \mathbf{J_n}.\mathbf{-n}.dS

Le théorème de flux-divergence (Ostrogradsky) donne :

d \int_V n_s.dV = - dt\int_V div(\mathbf{J_n}) dV

\frac{\partial n_v}{\partial t} = - div(\mathbf{J_n})

On utilise les dérivées partielles carn_v(\mathbf{r},t) dépend de l’espace \mathbf{r} et du temps t. Pas question ici d’utiliser les d droits.

Pour faciliter la résolution on travaillera dorénavant uniquement selon une dimension ici x.

\frac{\partial n_v}{\partial t} = - \frac{\partial J_{n,x}}{\partial x}

On rappelle la loi phénoménologique de Fick :

\mathbf{J_n} = - D.\mathbf{grad}n_v

Ce qui nous permet d’obtenir l’équation de diffusion suivante :

\boxed{\frac{\partial n_v}{\partial t} = D \frac{\partial^2 n_v}{\partial x^2}}

Étape 2 : Résoudre l’équation aux dérivées partielles

Avant de résoudre cette EDP il est nécessaire de mathématiser les conditions limites de notre problème.

Condition 1 : La totalité des particules se trouvent à t=0 à l’origine (x=0).

n_v(x,0) = \delta (x)

\delta correspond à l’impulsion de Dirac(Fig), c’est une distribution.

Représentation de l’impulsion de Dirac

Condition 2 : Les particules sont absentes à \pm \infty

\lim_{x \to \pm \infty} n_v(x,t)=0

La transformation de Fourier donne la transformée de Fourier :

\widehat{n_v}(u,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}n_v(x,t)exp(-i 2\pi u x)dx

Les rôles de \widehat{n_v}(u,t) et n_v(x,t) sont réciproques :

n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\widehat{n_v}(u,t)exp(+i 2\pi u x)du

Reprenons la condition 1:

  n_v(u,0)=TF\{n_v(x,0)\}=TF\{\delta x\}=\int^{+\infty}_{-\infty}\delta (x-0)exp(-i 2\pi u x)dx=exp(0)=1

Nous pouvons maintenant substituer n_v(x,t) dans l’équation de diffusion :

\frac{\partial n_v}{\partial t} - D \frac{\partial^2 n_v}{\partial x^2}=0

  \frac{\partial}{\partial t}\left(\int^{+\infty}_{-\infty}\widehat{n_v}(u,t)exp(+i 2\pi u x)du \right) - D \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\int^{+\infty}_{-\infty}\widehat{n_v}(u,t)exp(+i 2\pi u x)du \right)=0

  \int^{+\infty}_{-\infty}exp(+i 2\pi u x)\left[ \frac{\partial \widehat{n_v(u,t)}}{\partial t} + 4 \pi^2 u^2 D \widehat{n_v(u,t)} \right] dx=0

  \frac{d \widehat{n_v(u,t)}}{\widehat{n_v(u,t)}} = - 4 \pi^2 u^2 D dt

On résout l’équation différentielle

  \widehat{n_v(u,t)} = \widehat{n_v(u,0)}.exp(- 4 \pi^2 u^2 D t) = exp(- 4 \pi^2 u^2 D t)

Puis on effectue la transformée de Fourier inverse pour retrouver n_v(x,t):

  n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}exp(- 4 \pi^2 u^2 D t)exp(+i 2\pi u x)du=\int^{+\infty}_{-\infty}exp(- 4 \pi^2 u^2 D t +i 2\pi u x)du

n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}exp(- 4 \pi^2 u^2 D t +i 2\pi u x)du

Le premier changement de variable v=2\pi u donne :

  n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dv}{2\pi}exp(- D t v^2 +i v x)

  n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dv}{2\pi}exp \left[ - \frac{v^2 D^2 t^2 -i v x D t} {Dt} \right]=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dv}{2\pi}exp \left[ - \frac{v^2 D^2 t^2 -i v x D t -x^2/4} {Dt} \right] exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right)

  n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dv}{2\pi}exp \left[ - \frac{(vDt -i x/2 )^2}{Dt} \right] exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right)

Le second changement de variable z=vDt -i x/2 donne :

  n_v(x,t)= exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right) \int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dz}{2\pi Dt}exp \left[ - \frac{z^2}{Dt} \right] = exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right) \left( \frac{1}{2\pi Dt} \right)\left( \pi Dt \right)^{1/2}

  \boxed{ n_v(x,t)=\frac{1}{(4\pi Dt)^{1/2}} exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right) }

Merci à l’ouvrage de Mr PEREZ pour le graphique.

Ci-dessus est représentée la fonction n_v(x,t) à trois dates différentes t_1<t_2<t_3. Sans surprise les particules qui au début était en (x=0) diffusent et la distribution s’élargit.

La largeur a mi-hauteur vaut :

LMH=2\sqrt{2ln(2)}\sigma = 4\sqrt{ln(2)Dt}


Références :

[1] José philippe PEREZ. Thermodynamique – Fondements et Applications. DUNOD, 3ème edition, 2001.

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