Marche au hasard, marche de l’ivrogne !

Dans l’analyse du transport par les molécules de grandeurs physiques1, on peut, en première approximation, tenir compte de la marche au hasard des molécules transportant une grandeur physique. Par exemple la viscosité correspond au transport de la quantité de mouvement par des molécules. À la manière d’un ivrogne, celles-ci effectueraient un pas en avant ou un pas en arrière d’une longueur correspondant au libre parcours moyen transportant avec elle une grandeur physique déterminée.

Pour simplifier l’analyse on se place dans le cas arbitraire d’une marche aléatoire unidimensionnelle suivant un axe x. Il sera trivial de généraliser le résultat à un mouvement tridimensionnel plus tard.

Cherchons la probabilité pour que le déplacement, suivant les x>0 soit égal à m déplacements sur la droite.

Pour ce faire on peut considérer N épreuves pouvant conduire à deux évènements :

  • Événement (+) : La particule se déplace vers les x > 0 avec une probabilité p_+=\frac{1}{2}
  • Événement (-) : La particule se déplace vers les x < 0 avec une probabilité p_-=\frac{1}{2}

La probabilité d’avoir un déplacement m \times l selon les x>0 est de faire n déplacements positifs tel que n=\frac{1}{2}(m+N) (en effet m=n-(N-n)=2n-N). La loi binômiale donne :

p(n,N)=C^{n}_{N}p^{n}_{+}p^{N-n}_{-}

On pourrait très bien utiliser l’approximation de Stirling et normaliser mais il est BEAUCOUP plus rapide (et surtout moins laborieux) d’utiliser le Théorème limite central. On considère X_N, une variable aléatoire qui est la somme des N déplacements élémentaires \delta X_{N} prenant deux valeurs possibles \epsilon_n=\pm 1.

La variable aléatoire X_N a pour valeurs possibles x(N) :

x(N)= \sum^{N}_{n=1}\epsilon_n

On calcule les moyennes suivantes :

<\epsilon_n>=p_{+}\times(+1)+(1-p_{+})\times(-1)=2p_{+}-1

<\epsilon_n^2>=p_{+}\times(+1)^2+(1-p_{+})\times(-1)^2=1

<X_N>=\sum^{N}_{n=1}<\epsilon_n>=N(2p_{+}-1)

<X_N^2>=\sum^{N}_{n=1}<\epsilon_n^2>=N

On calcule l’écart type :

\sigma_{X_N}^2 \equiv <X_N^2>-<X_N>^2=N\times4p_{+}(1-p{+})

On notera que pour l’instant, on se fiche absolument de savoir si N est grand ou petit. Le Théorème Limite Central2 permet d’affirmer que si  N >>> 1 alors X_N tend vers une loi gaussienne.

Fonction gaussienne pour μ = 0, σ = 1 ; courbe centrée en zéro

 P_{X_N}(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{X_N}}\exp \left[ - \frac{(n - <X_N>)^2}{2\sigma_{X_N}^2}\right]

Or l’espace est isotrope donc p_+=\frac{1}{2} (épreuve de Bernoulli) qui conduit inéluctablement à une moyenne nulle du déplacement (ou un centrage de la gaussienne) <X_N>=0.

Cherchons maintenant la probabilité d’avoir l’avancement m=2n-N.

P_m=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{X_N}}\exp \left[ - \frac{m^2}{2\sigma_{X_N}^2}\right]

En remplaçant avec les valeurs calculées ci-dessus :

 P_m=\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\exp \left[ - \frac{m^2}{2N}\right]

Considérons maintenant la distance parcourue, x=m \times l et la durée totale de l’expérience t=N \times \tau\tau est la durée nécessaire pour parcourir le libre parcours moyen l à la vitesse moyenne v_m. La probabilité d’avancer de x est :

 P_x=Cte \times \exp \left[ - \frac{\tau.x^2}{2.t.l^2}\right]

Il est intéressant de chercher la distance quadratique moyenne parcourue :

 x^2_q = \bar{x^2} =\frac{\int_0^\infty x^2.P_x.dx}{\int_0^\infty x.P_x.dx} \implies x_q=l\left(\frac{t}{\tau}\right)^{1/2}

Comme nous laissait présager l’écart type calculé plus haut, la distribution s’élargit proportionnellement à la racine carrée de la durée t. Formulée autrement : la région visitée par l’ivrogne croît comme la racine carrée du temps.

Bibliographie :

1 José Philippe PEREZ. Thermodynamique - Fondements et applications. DUNOD, 3ème édition.
2 Claude ASLANGUL. Des mathématiques pour les sciences. DE BOECK, 2011.
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