Équation de diffusion

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On souhaite dans cet article résoudre le cas classique de la diffusion de particules. On utilisera pour résoudre l’équation aux dérivées partielles la transformée de Fourier. Le document s’inspire franchement du Perez de Thermodynamique. La résolution n’est cependant pas menée à son terme dans l’ouvrage.

Étape 1 : établir l’équation de diffusion

Les particules sont contenues dans un volume V délimité par une surface S.

On se place dans le cas conservatif ou il n’y a pas de création ou de destruction de particules dans l’espace considéré. De sorte que la variation du nombre de particules \Delta N ne dépend que des échanges avec l’extérieur, on pose N^r le nombre de particules échangées :

\Delta N = N^r

On remarquera à ce titre que \delta N^r est une forme différentielle, c’est à dire qu’elle n’est pas à priori la différentielle d’une fonction. Ici \delta N^r sera pour nous le nombre de particules qui traversent une surface infiniment petite dS caractérisée par une normale \mathbf{n}.

\delta N^r correspond donc au nombre de particules qui traverserons cette surface. En fait, il s’agit de toutes les particules contenues dans le cylindre (Fig) de base dS et de hauteur \mathbf{v}dt.

Cylindre de base dS et de hauteur vdt

\delta N^r = n_v(\mathbf{r},t).\mathbf{n}.\mathbf{v}.dS.dt

Définissons le flux d \phi comme le nombre de particules qui traversent la surface pendant dt.

d \phi = \frac{\delta N^r}{dt}=n_v.\mathbf{v}.\mathbf{n}.dS

d \phi = \mathbf{J_n}.\mathbf{n}.dS

Le flux sera donc en intégrant sur une surface S :

\phi = \int_S \mathbf{J_n}.\mathbf{n}.dS

Reprenons le bilan :

d N = \delta N^r

On note que si les particules se déplacent dans le sens de \mathbf{n} elles sortent du volume étudié et donc doivent être comptées négativement.

d \int_V n_s.dV = dt\int_S \mathbf{J_n}.\mathbf{-n}.dS

Le théorème de flux-divergence (Ostrogradsky) donne :

d \int_V n_s.dV = - dt\int_V div(\mathbf{J_n}) dV

\frac{\partial n_v}{\partial t} = - div(\mathbf{J_n})

On utilise les dérivées partielles carn_v(\mathbf{r},t) dépend de l’espace \mathbf{r} et du temps t. Pas question ici d’utiliser les d droits.

Pour faciliter la résolution on travaillera dorénavant uniquement selon une dimension ici x.

\frac{\partial n_v}{\partial t} = - \frac{\partial J_{n,x}}{\partial x}

On rappelle la loi phénoménologique de Fick :

\mathbf{J_n} = - D.\mathbf{grad}n_v

Ce qui nous permet d’obtenir l’équation de diffusion suivante :

\boxed{\frac{\partial n_v}{\partial t} = D \frac{\partial^2 n_v}{\partial x^2}}

Étape 2 : Résoudre l’équation aux dérivées partielles

Avant de résoudre cette EDP il est nécessaire de mathématiser les conditions limites de notre problème.

Condition 1 : La totalité des particules se trouvent à t=0 à l’origine (x=0).

n_v(x,0) = \delta (x)

\delta correspond à l’impulsion de Dirac(Fig), c’est une distribution.

Représentation de l’impulsion de Dirac

Condition 2 : Les particules sont absentes à \pm \infty

\lim_{x \to \pm \infty} n_v(x,t)=0

La transformation de Fourier donne la transformée de Fourier :

\widehat{n_v}(u,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}n_v(x,t)exp(-i 2\pi u x)dx

Les rôles de \widehat{n_v}(u,t) et n_v(x,t) sont réciproques :

n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\widehat{n_v}(u,t)exp(+i 2\pi u x)du

Reprenons la condition 1:

  n_v(u,0)=TF\{n_v(x,0)\}=TF\{\delta x\}=\int^{+\infty}_{-\infty}\delta (x-0)exp(-i 2\pi u x)dx=exp(0)=1

Nous pouvons maintenant substituer n_v(x,t) dans l’équation de diffusion :

\frac{\partial n_v}{\partial t} - D \frac{\partial^2 n_v}{\partial x^2}=0

  \frac{\partial}{\partial t}\left(\int^{+\infty}_{-\infty}\widehat{n_v}(u,t)exp(+i 2\pi u x)du \right) - D \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\int^{+\infty}_{-\infty}\widehat{n_v}(u,t)exp(+i 2\pi u x)du \right)=0

  \int^{+\infty}_{-\infty}exp(+i 2\pi u x)\left[ \frac{\partial \widehat{n_v(u,t)}}{\partial t} + 4 \pi^2 u^2 D \widehat{n_v(u,t)} \right] dx=0

  \frac{d \widehat{n_v(u,t)}}{\widehat{n_v(u,t)}} = - 4 \pi^2 u^2 D dt

On résout l’équation différentielle

  \widehat{n_v(u,t)} = \widehat{n_v(u,0)}.exp(- 4 \pi^2 u^2 D t) = exp(- 4 \pi^2 u^2 D t)

Puis on effectue la transformée de Fourier inverse pour retrouver n_v(x,t):

  n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}exp(- 4 \pi^2 u^2 D t)exp(+i 2\pi u x)du=\int^{+\infty}_{-\infty}exp(- 4 \pi^2 u^2 D t +i 2\pi u x)du

n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}exp(- 4 \pi^2 u^2 D t +i 2\pi u x)du

Le premier changement de variable v=2\pi u donne :

  n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dv}{2\pi}exp(- D t v^2 +i v x)

  n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dv}{2\pi}exp \left[ - \frac{v^2 D^2 t^2 -i v x D t} {Dt} \right]=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dv}{2\pi}exp \left[ - \frac{v^2 D^2 t^2 -i v x D t -x^2/4} {Dt} \right] exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right)

  n_v(x,t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dv}{2\pi}exp \left[ - \frac{(vDt -i x/2 )^2}{Dt} \right] exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right)

Le second changement de variable z=vDt -i x/2 donne :

  n_v(x,t)= exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right) \int^{+\infty}_{-\infty}\frac{dz}{2\pi Dt}exp \left[ - \frac{z^2}{Dt} \right] = exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right) \left( \frac{1}{2\pi Dt} \right)\left( \pi Dt \right)^{1/2}

  \boxed{ n_v(x,t)=\frac{1}{(4\pi Dt)^{1/2}} exp \left( \frac{-x^2}{ 4Dt} \right) }

Merci à l’ouvrage de Mr PEREZ pour le graphique.

Ci-dessus est représentée la fonction n_v(x,t) à trois dates différentes t_1<t_2<t_3. Sans surprise les particules qui au début était en (x=0) diffusent et la distribution s’élargit.

La largeur a mi-hauteur vaut :

LMH=2\sqrt{2ln(2)}\sigma = 4\sqrt{ln(2)Dt}


Références :

[1] José philippe PEREZ. Thermodynamique – Fondements et Applications. DUNOD, 3ème edition, 2001.

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Les Grecs

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Bibliographie :

1 Jean BAUDET. Penser le monde - Une histoire de la physique jusqu'en 1900. VUIBERT.

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Erratum – Mécanique PEREZ – Septième édition

Coquilles et remarques diverses concernant la septième édition de l’ouvrage.

Chapitre 3 – Changement de référentiel

p40 – I.2 : La relation dans la remarque est \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'A}
p41 – I.3 : Petite coquille, « on considère »
p42 – I.3 : Il manque un prime (\frac{d \vec{U}}{dt})_R=\dot{X}'
p45 – II.2.c : La vitesse du point O à la surface de la Terre devrait être notée \vec{v}_{O/R'}

Chapitre 5 – Énergétique du corpuscule

p77 – IV.2 : Dans la remarque en bas, l’énergie mécanique du corpuscule se conserve. L’énergie totale, oui, la mécanique pas forcément.

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Marche au hasard, marche de l’ivrogne !

Dans l’analyse du transport par les molécules de grandeurs physiques1, on peut, en première approximation, tenir compte de la marche au hasard des molécules transportant une grandeur physique. Par exemple la viscosité correspond au transport de la quantité de mouvement par des molécules. À la manière d’un ivrogne, celles-ci effectueraient un pas en avant ou un pas en arrière d’une longueur correspondant au libre parcours moyen transportant avec elle une grandeur physique déterminée.

Pour simplifier l’analyse on se place dans le cas arbitraire d’une marche aléatoire unidimensionnelle suivant un axe x. Il sera a priori trivial de généraliser le résultat à un mouvement tridimensionnel plus tard.

Cherchons la probabilité pour que le déplacement, suivant les x>0 soit égal à m déplacements sur la droite.

Pour ce faire on peut considérer N épreuves pouvant conduire à deux évènements :

  • Événement (+) : La particule se déplace vers les x > 0 avec une probabilité p_+=\frac{1}{2}
  • Événement (-) : La particule se déplace vers les x < 0 avec une probabilité p_-=\frac{1}{2}

La probabilité d’avoir un déplacement m \times l selon les x>0 est de faire n déplacements positifs tel que n=\frac{1}{2}(m+N) (en effet m=n-(N-n)=2n-N). La loi binômiale donne :

p(n,N)=C^{n}_{N}p^{n}_{+}p^{N-n}_{-}

On pourrait très bien utiliser l’approximation de Stirling pour exprimer les factoriels et renormaliser par la suite mais il est BEAUCOUP plus rapide (et surtout moins laborieux) d’utiliser le Théorème limite central. On considère X_N, une variable aléatoire qui est la somme des petits déplacements élémentaires correspondant à une variable aléatoire que l’on nomme \delta X_{N} prenant deux valeurs possibles \epsilon_n=\pm 1 La variable aléatoire X_N pour une trajectoire donnée est :

X_N= \sum^{N}_{n=1}\delta X_N

On calcule les moyennes suivantes :

X_N= \sum^{N}_{n=1}\delta X_{N}

<\delta X_{N}>=p_{+}\times(+1)+(1-p_{+})\times(-1)=2p_{+}-1

<\delta X_{N}^2>=p_{+}\times(+1)^2+(1-p_{+})\times(-1)^2=1

\sigma_{\delta X_{N}}^2 \equiv <\delta X_N^2>-<\delta X_N>^2=4p_{+}(1-p{+})

Le Théorème Limite Central2 permet d’affirmer que si  N >>> 1 alors X_N tend vers une loi gaussienne avec une moyenne <\delta X_N> et un écart type \sqrt{N}\sigma_{\delta X_{N}}.

Fonction gaussienne pour μ = 0, σ = 1 ; courbe centrée en zéro

P_{X_N}(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{\delta X_N}}\exp \left[ - \frac{(n - <\delta X_N>)^2}{2\sigma_{\delta X_N}^2}\right]

P_{X_N}(m)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{4p_{+}(1-p{+})N}}\exp \left[ - \frac{(m - N(2p_{+}-1))^2}{2\sqrt{4p_{+}(1-p{+})N}^2}\right]

Or l’espace est isotrope donc p_+=\frac{1}{2} (épreuve de Bernoulli) qui conduit inéluctablement à une moyenne nulle du déplacement (ou un centrage de la gaussienne) <\delta X_N>=0.

P_{X_N}(m)=\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\exp \left[ - \frac{m^2}{2N}\right]

Considérons maintenant la distance parcourue, x=m \times l et la durée totale de l’expérience t=N \times \tau\tau est la durée nécessaire pour parcourir le libre parcours moyen l à la vitesse moyenne v_m. La probabilité d’avancer de x est :

 P_x=Cte \times \exp \left[ - \frac{\tau.x^2}{2.t.l^2}\right]

Il est intéressant de chercher la distance quadratique moyenne parcourue :

 x^2_q = \bar{x^2} =\frac{\int_0^\infty x^2.P_x.dx}{\int_0^\infty x.P_x.dx} \implies x_q=l\left(\frac{t}{\tau}\right)^{1/2}

Comme nous laissait présager l’écart type calculé plus haut, la distribution s’élargit proportionnellement à la racine carrée de la durée t. Formulée autrement : la région visitée par l’ivrogne croît comme la racine carrée du temps.

Bibliographie :

1 José Philippe PEREZ. Thermodynamique - Fondements et applications. DUNOD, 3ème édition.
2 Claude ASLANGUL. Des mathématiques pour les sciences. DE BOECK, 2011.
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